Question

12．已知f（x+y）=f（x）-f（y）对全体实数x，y都成立，则f（x）是（　　）

• A． 奇函数
• B． 偶函数
• C． 既是奇函数又是偶函数
• D． 非奇非偶函数

Answer 1

分析 根据题意，用特殊值法分析：在f（x+y）=f（x）-f（y）中，令x=y=0可得f（0）=0，再令y=-x可得：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），即f（0）=f（x）+f（-x），由f（0）的值，可得f（-x）=-f（x），由偶函数的性质即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x+y）=f（x）-f（y）对全体实数x，y都成立，
令x=y=0可得：f（0+0）=f（0）-f（0）=0，即f（0）=0，
再令y=-x可得：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），即f（0）=f（x）+f（-x），
又由f（0）=0，则有f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
则函数f（x）为偶函数；
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性的判定，涉及抽象函数的问题，一般利用特殊值法分析．