Question

11．有下列命题：
①已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是平面内两个非零向量，则平面内任一向量$\overrightarrow{c}$都可表示为λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，其中λ，μ∈R；
②对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，则$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$；
③直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，-1）；
④在△ABC中，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=1$则BC=$\sqrt{3}$；
其中正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析 由向量的基本定理，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是平面内两个不共线向量，即可判断①；
由向量的多边形法则，结合中点向量，即可判断②；
由直线的方向向量为（1，k），k即为斜率，即可判断③；
由向量的数量积的定义和余弦定理，解方程可得BC，即可判断④．

解答 解：对①，由平面向量定理可得，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是平面内两个不共线向量，则平面内任一向量$\overrightarrow{c}$都可表示为λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，其中λ，μ∈R，故①错；
对②，对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CF}$，两式相加可得2$\overrightarrow{EF}$=（$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{EB}$）+（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BC}$）+（$\overrightarrow{DF}$+$\overrightarrow{CF}$）=$\overrightarrow{0}$+（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BC}$）+$\overrightarrow{0}$，则$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$，故②正确；
对③，直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，1），故③错；
对④，在△ABC中，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=1$，可得-2BC•cosB=1，
由cosB=$\frac{4+B{C}^{2}-9}{4BC}$=-$\frac{1}{2BC}$，则BC=$\sqrt{3}$，故④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的真假判断，主要是平面向量基本定理和向量的多边形法则、直线的方向向量和向量的数量积的定义及余弦定理的运用，考查判断能力，属于中档题．