Question

7．对x∈R，定义函数sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$
（1）求方程x²-3x+1=sgn（x）的根；
（2）设函数f（x）=[sgn（x-2）]•（x²-2|x|），若关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，列出方程，逐一求解即可．
（2）求出函数的解析式，得到a的表达式，画出图象，通过a的范围讨论函数零点个数即可．

解答 解：（1）当x＞0时，sgn（x）=1，解方程x²-3x+1=1，得x=3（x=0不合题意舍去）；
当x=0时，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解；
当x＜0时，sgn（x）=-1，解方程x²-3x+1=-1，得x=1或x=2（均不合题意舍去）．
综上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．  …（6分）
（2）由于函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x\;，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\;}\\{-{x^2}+2x\;，\;\;0＜x＜2}\\{-{x^2}-2x\;，\;\;\;\;\;\;\;x≤0}\end{array}}\right.$，
则原方程转化为：$a=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-3x\;，\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\\-{x^2}+x\;，\;\;0＜x＜2\\-{x^2}-3x\;，\;\;\;\;\;\;x≤0\end{array}\right.$．
数形结合可知：
①当a＜-2时，原方程有1个实根；
②当a=-2时，原方程有2个实根；
③当-2＜a＜0时，原方程有3个实根；
④当a=0时，原方程有4个实根；
⑤当$0＜a＜\frac{1}{4}$时，原方程有5个实根；
⑥当$a=\frac{1}{4}$时，原方程有4个实根；
⑦当$\frac{1}{4}＜a＜\frac{9}{4}$时，原方程有3个实根；
⑧当$a=\frac{9}{4}$时，原方程有2个实根；
⑨当$a＞\frac{9}{4}$时，原方程有1个实根．
故当$a∈（\;-2\;，\;0\;）∪（\;\frac{1}{4}\;，\;\frac{9}{4}\;）$时，关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根．…（12分）

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象数形结合以及转化思想，分类讨论思想的应用，考查计算能力．