Question

设a、b、c均为正实数，求证：三个数a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一个不小于2．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：假设a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

都小于2，相加可得(a+

1

b

)+(b+

1

c

)+(c+

1

a

)＜6．再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．

解答： 证明：假设a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

都小于2，则(a+

1

b

)+(b+

1

c

)+(c+

1

a

)＜6．
∵a、b、c∈R⁺，
∴(a+

1

b

)+(b+

1

c

)+(c+

1

a

)=(a+

1

a

)+(b+

1

b

)+(c+

1

c

)≥2+2+2=6，矛盾．
∴a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

中至少有一个不小于2．

点评：用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．