题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinωx，-cosωx）， $数学公式$ =（ $数学公式$ cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）= $数学公式$ ． $数学公式$ + $数学公式$ ，且函数f（x）= $数学公式$ sinωxcosωx-cos²ωx+ $数学公式$ 的图象中任意两相邻对称轴间的距离为π．
（1）求ω的值；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（C）= $数学公式$ ，且c=2 $数学公式$ ，△ABC的面积S=2 $数学公式$ ，求a+b的值．

解：（1）由题知f（x）= $\text{[math]}$ sinωxcosωx-cos²ωx+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ （cos2ωx+1） $\text{[math]}$ =sin（2ωx- $\text{[math]}$ ）
∵函数f（x）的图象中任意两相邻对称轴间的距离为π
∴T=2π从而得2ω= $\text{[math]}$ =1，解得ω= $\text{[math]}$
（2）由（1）知f（x）=sin（x- $\text{[math]}$ ）∴f（C）=sin（C- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵0＜C＜π∴- $\text{[math]}$ ＜C- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴C- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而得C= $\text{[math]}$
又∵S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ab× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，∴ab=8，
又由余弦定理得 $\text{[math]}$ =（a+b）²-3ab，
∴（a+b）²=76+3ab=100，∴a+b=10．
分析：（1）由三角函数的公式化简式子，由题意得函数的周期，进而可得ω的值；
（2）代入（1）中的解析式，结合面积易得ab=8，再由余弦定理可得关于ab的式子，共同可解a+b
点评：本题考查数量积的运算和两角和与差的三角函数，以及正余弦定理，属中档题．