Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{3{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{5{n}^{2}}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{2{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{n}^{2}}$=1有公共的焦点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）直线l过右焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆和双曲线的a，b，c的关系可得m²=8n²，再由渐近线方程的求法，即可得到所求；
（2）设渐近线y=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x与直线l：x=c交于A，B，求得|AB|，由三角形的面积公式可得c=1，再由a，b，c的关系和渐近线方程，解得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：（1）依题意，有3m²-5n²=2m²+3n²，即m²=8n²，
可设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{16{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{n}^{2}}$=1，
故双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x．
（2）设渐近线y=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x与直线l：x=c交于A，B，
则|AB|=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$．
由S_△OAB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得c=1，
即a²+b²=1，又$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴a²=$\frac{16}{19}$，b²=$\frac{3}{19}$，
∴双曲线的方程为$\frac{19{x}^{2}}{16}$-$\frac{19{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和应用，考查运算能力，属于中档题．