Question

已知递增等差数列{a_n}中的a₂，a₅是函数f（x）=

1

3

x3-

7

2

x2+10x+5的两个极值点．数列{b_n}满足，点（b_n，S_n）在直线y=-x+1上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先对原函数求导得到极值点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；
（2）直接使用错位相减法求之即可．

解答： 解：（1）f(x)=

1

3

x3-

7

2

x2+10x+5，x∈R，则f'（x）=x²-7x+10．
因为a₂，a₅是函数f(x)=

1

3

x3-

7

2

x2+10x+5的两个极值点，则

a2+a5=7 a2•a5=10

，解得：

a2=2 a5=5

或

a2=5 a5=2

．
又等差数列{a_n}递增，则

a2=2 a5=5

，所以an=n，n∈N*．…3分
因为点（b_n，S_n）在直线y=-x+1上，则S_n=-b_n+1．
当n=1时，b₁=S₁=-b₁+1，即b1=

1

2

．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（-b_n+1）-（-b_n-1+1），即bn=

1

2

bn-1．
所以数列{b_n}为首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，即bn=(

1

2

)n，n∈N*．…6分
（2）由（1）知：an=n，n∈N*且bn=(

1

2

)n，n∈N*，
则cn=an•bn=n•(

1

2

)n，n∈N*
所以Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n①

1

2

Tn=         1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②．
1-②得：

1

2

Tn= 

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(n+2)(

1

2

)n+1．
所以Tn=2-(n+2)(

1

2

)n，n∈N*．…12分．

点评：本题考查的知识点利用导数求函数的极值；等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和．是中档题．