Question

已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：.

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）详见解析

试题分析：（1）对于确定函数的单调性，可利用的解集和定义域求交集，得递增区间；的解集和定义域求交集，得递减区间，如果和的解集不易解出来，可采取间接判断导函数符号的办法，该题，无法解不等式和，可设
，再求导>0,故在递增，又发现特殊值，所以在小于0，在大于0，单调性可判断；（2）要证明，可证明，由(1)知，函数在递减，递增，而无意义，所以可考虑对不等式等价变形，从而，写成积的形式，判断每个因式的符号即可（注：这样将.与分开另一个目的是为了便于求导）.
试题解析：(1),设,则且,在上单调递增,当时, ,从而单调递减；当时, ,从而单调递增，因此，在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：原不等式就是，即，令，在上单调递增，当时，，当时，，所以当且时，.