Question

设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点、，求证：.

Answer 1

（1）切线方程为；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数的导数，对的符号进行分类讨论，结合零点存在定理判断函数在定义域上是否有零点，从而求出参数的取值范围；另外一中方法是将问题等价转化为“直线与曲线无公共点”，结合导数研究函数的基本性质，然后利用图象即可确定实数的取值范围；（3）从所证的不等式出发，利用分析法最终将问题等价转换为证明不等式在区间上恒成立，并构造新函数，利用导数结合函数的单调性与最值来进行证明.
试题解析：在区间上，，
（1）当时，，则切线方程为，即；
（2）①当时，有唯一零点；
②当时，则，是区间上的增函数，
，，
，即函数在区间有唯一零点；
③当时，令得，
在区间上，，函数是增函数，
在区间上，，函数是减函数，
故在区间上，的极大值为，
由，即，解得，故所求实数的取值范围是；
另解：无零点方程在上无实根直线与曲线无公共点，
令，则，令，解得，列表如下：

	增	极大值	减

故函数在处取得极大值，亦即最大值，即，
由于直线与曲线无公共点，故，故所求实数的取值范围是；
（3）设，由，，可得，，
，，
原不等式，
令，于是，
设函数，求导得，
故函数是上的增函数，，即不等式成立，
故所证不等式成立.