Question

已知函数，是大于零的常数．
（Ⅰ）当时,求的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上为单调递增，求实数的取值范围；
(Ⅲ)证明：曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立.

Answer 1

（I）极大值，极小值.
（Ⅱ）当函数在区间上为单调递增时，或．
（Ⅲ）曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ．

试题分析：（I）求极值一般遵循“求导数、求驻点、讨论区间的导数值正负、计算极值”.
（Ⅱ）函数在区间上为单调递增，因此，其导函数为正数恒成立，据此建立的不等式求解.
应注意结合的不同取值情况加以讨论.
（Ⅲ）通过确定函数的极大值、极小值点,, 并确定的中点.
设是图象任意一点,由，可得，
根据，可知点在曲线上，作出结论.
本题难度较大，关键是能否认识到极大值、极小值点,的中点即为所求.
试题解析：（I），，
当时，，
令得.
在分别单调递增、单调递减、单调递增，
于是，当时，函数有极大值，时，有极小值.
------4分
（Ⅱ），若函数在区间上为单调递增，
则在上恒成立，
当，即时，由得；
当，即时，，无解；
当，即时，由得．
综上，当函数在区间上为单调递增时，或．    10分
（Ⅲ），，
令，得，
在区间，，上分别单调递增，单调递减，单调递增，
于是当时，有极大值；
当时，有极小值．
记,, 的中点,
设是图象任意一点,由，得，
因为
，
由此可知点在曲线上，即满足的点在曲线上．
所以曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ．          14分