Question

已知函数f（x）=

x(x-2)，x≥0 x(x+2)，x＜0

．
（1）求f（1）和f（-3）的值；
（2）求f（a+1）的值；
（3）画出函数y=f（x）的草图，并求出函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的值,函数的最值及其几何意义,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件利用分段函数的性质求解．
（2）由已知条件分a+1≥0和a+1＜0两种情况，进行分类讨论，由此能求出结果．
（3）当x≥0时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，当x＜0时，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，由此能求出函数y=f（x）的最小值为-1，并能画出函数y=f（x）的草图．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x(x-2)，x≥0 x(x+2)，x＜0

，
∴f（1）=1×（1-2）=-1．
f（-3）=（-3）×（-3+2）=3．
（2）当a+1≥0，即a≥-1时，f（a+1）=（a+1）（a+1-2）=a²-1．
当a+1＜0，即＜-1时，f（a+1）=（a+1）（a+2）=a²+3a+2．
（3）当x≥0时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
是开口向上，对称轴为x=1，项点为（1，-1）的抛物线，
当x＜0时，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，
是开口向上，对称轴为x=-1，项点为（-1，-1）的抛物线，
∴函数y=f（x）的最小值为-1，图象如右图所示．

点评：本题考查函数值的求法，考查函数值的最小值的求法，考查函数图象的作法，是基础题，解题时要认真审题．