Question

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1（ k为正整数），其中a₁=16．设正整数数列{b_n}满足：，当n≥2时，有．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项；
（Ⅱ）记，证明：对任意n∈N*，．

Answer 1

解：（Ⅰ）在点（a_k，a_k²）处的切线方程为：y﹣a_k²=2a_k（x﹣a_k），
当y=0时，解得，所以，
又∵a₁=16，
∴a₂=8，a₃=4，a₄=2

n=2时，，
由已知b₁=2，b₂=6，得|36﹣2a₃|＜1，
因为b₃为正整数，所以b₃=18，同理b₄=54
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：b_n=2·3^n﹣1
证明：①n=1，2时，命题成立；
②假设当n=k﹣1与n=k（k≥2且k∈N）时成立，即b_k=2·3^k﹣1，b_k﹣1=2·3^k﹣2．
于是，整理得：
由归纳假设得：
因为b_k+1为正整数，所以b_k+1=2·3^k
即当n=k+1时命题仍成立．
综上：由知①②知对于n∈N*，有b_n=2·3^n﹣1成立
（Ⅲ）证明：由③
得④
③式减④式得⑤
⑥
⑤式减⑥式得

=﹣1+2
=1+2
=
=
则．