Question

5．已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，a_n²+2a²_n+1≤3a_na_n+1．
（1）求证：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤a_n≤1．
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2ⁿ⁺¹-2．

Answer 1

分析 （1）由正项数列{a_n}满足：a₁=1，a_n²+2a²_n+1≤3a_na_n+1．可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤3，设$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=x，则$\frac{1}{x}+2x≤3$，解得$\frac{1}{2}≤x≤1$，可得$\frac{1}{2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤1，利用“累乘求积”即可证明．
（2）由a₁=1，a_n²+2a²_n+1≤3a_na_n+1，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}^{2}}+\frac{2}{{a}_{n}}$≤$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，于是b_n=$\frac{{a}_{n}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$≤$2（\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}）$，即可得出：b₁+b₂+b₃+…+b_n≤2$（\frac{1}{{a}_{n+1}}-1）$，由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$≤2ⁿ，即可证明．

解答 证明：（1）∵正项数列{a_n}满足：a₁=1，a_n²+2a²_n+1≤3a_na_n+1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤3，
设$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=x，则$\frac{1}{x}+2x≤3$，化为（2x-1）（x-1）≤0，解得$\frac{1}{2}≤x≤1$，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤1，
可得：$\frac{1}{2}$≤$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$≤1，$\frac{1}{2}$≤$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$≤1，…，$\frac{1}{2}$≤$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$≤1，
∴$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$≤1，a₁=1，可得$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤a_n≤1．
（2）∵a₁=1，a_n²+2a²_n+1≤3a_na_n+1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤3，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}^{2}}+\frac{2}{{a}_{n}}$≤$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{{a}^{2}}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$≤$2（\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}）$，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n≤2$[（\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}）+（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）$+$（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-2}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）]$
=2$（\frac{1}{{a}_{n+1}}-1）$，
由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$≤2ⁿ，
∴2$（\frac{1}{{a}_{n+1}}-1）$≤2ⁿ⁺¹-2，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、“累乘求积”、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．