Question

设（A，B）是两个集合，称（A，B）为一对子．当A≠B时，将（A，B）与（B，A）视为不同对子．满足条件A∪B={1，2，3，4}的不同对子（A，B）有

 

个．

Answer 1

考点：映射

专题：函数的性质及应用,集合

分析：根据已知中A∪B={1，2，3，4}及对子的定义，分类讨论计算出A中元素个数分别为0，1，2，3，4时，不同对子的个数，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵A∪B={1，2，3，4}，
故A，B均为集合{1，2，3，4}的子集，
①当A=∅时，B={1，2，3，4}，此时对子（A，B）有1个；
②当A为一元集时，不妨令A={1}，则B={1，2，3，4}，或B={2，3，4}，
此时对子（A，B）有

C

1 4

×2=8个；
③当A为二元集时，不妨令A={1，2}，则B={1，2，3，4}，或B={2，3，4}，或B={1，3，4}，或B={3，4}，
此时对子（A，B）有

C

2 4

×4=24个；
④当A为三元集时，不妨令A={1，2，3}，则B={1，2，3，4}，或B={2，3，4}，或B={1，3，4}，或B={2，3，4}，或B={1，4}，或B={2，4}，或B={3，4}，或B={4}，
此时对子（A，B）有

C

3 4

×8=32个；
④当A为四元集时，A={1，2，3，4}，则B={1，2，3，4}，或B={2，3，4}，或B={1，3，4}，或B={2，3，4}，或B={1，2，3}，或B={1，4}，或B={2，4}，或B={3，4}，或B={1，3}，或B={2，3}，或B={1，2}，或B={4}，或B={3}，或B={2}，或B={1}，
此时对子（A，B）有

C

3 4

×8=16个；
综上满足条件A∪B={1，2，3，4}的不同对子（A，B）有1+8+24+32+16=81个，
故答案为：81

点评：本题考查的知识点是集合的个数，分类讨论思想是解答本题的关键．