Question

【题目】已知函数．

（1）当时，若在，处的导数相等，证明：；

（2）若有两个不同的零点，，证明：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）得出导函数，由题意得出，利用基本不等式得出，即可证明；

（2）由函数零点的性质可得，整理得出，构造函数，利用导数的单调性得出，令，整理得到，从而得出，利用导数得出函数的单调性，结合题设条件得出，从而得出，最后由不等式的性质得出结论.

（1）当时，

所以，由题意，得，化简，得

所以，

所以

（2）由题意，得

两式相减，得

所以

构造函数

则，所以函数在上单调递增

所以当时，

令，则，化简得

所以，所以．

因为

若，则，单调递减，不可能有两个不同的零点，所以

，

则在上单调递减，在上单调递增

又当时，，当时，，所以

所以，即，解得

故．