Question

【题目】已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面，且，且，分别为的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）设的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，由法向量的夹角与二面角平面角的关系，即可容易求得结果.

（1）设的中点为，连接，

则，，

又且，

且，

四边形为平行四边形，

，又平面，平面，

平面．即证.

（2）因为，且平面，

又平面，

故可得，

故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系

如下图所示：

令，

则，，，，，，

，，，

，，

，．

，平面，

平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则由，即

令，则，，，

，

由图知二面角为锐角，

二面角的余弦值为．