Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论在区间上的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）求出，从而可知切线的斜率，由直线的点斜式可求切线方程.

（2）设，通过导数可探究单调性，再结合，，，，可得函数图像，通过讨论当或，当或或，当或时，结合函数图像，可求零点个数.

解：（1）因为，所以，所以，

所以，，则，故切线方程为．

（2）令，得，设，

则，由 恒成立，

令，得；令，得或，

则在和上单调递减，在上单调递增．

因为，，，

．则的简图为

当或时，无解，即在区间上没有零点；

当或或时，在区间上有且仅有一个零点；

当或时，在区间上有两个零点．

综上，当或时，在区间上没有零点；

当或或时，在区间上有且仅有一个零点；

当或时，在区间上有两个零点．