Question

【题目】已知函数，函数，其中是自然对数的底数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数()，讨论的单调性；

（3）若对任意，恒有关于的不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案见解析.（3）

【解析】

（1）由函数，求导得到， 再求得，，写出切线方程.

（2）易得，由在上恒成立，根据，分，讨论求解.

（3）根据对任意，恒有关于的不等式成立，转化为，对任意恒成立，设(，用导数法求其最小值即可.

（1）因为

所以，

所以.

因为，

所以，

即所求曲线在点处的切线方程为.

（2）易知，函数的定义域为，，

且有

.

因为在上恒成立，

所以①当时，在上恒成立，此时，

所以，在区间上单调递增.

②当时，由，即，解得；

由，即，解得.

所以，在区间上单调递减；

在区间上单调递增.

（3）因为对任意，恒有关于的不等式成立，

所以 ，对任意恒成立，

设().

易得，.

令，，

所以.

显然，当时，恒成立.

所以函数在上单调递减，所以，

即在恒成立.

所以，函数在单调递减.

所以有，

所以.

故所求实数的取值范围是.