Question

20．已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|{2x-3}|，\;\;\;1≤x＜2\\ \frac{1}{2}f（{\frac{1}{2}x}），\;\;\;\;x≥2\;\end{array}$，则函数y=2xf（x）-3在区间（1，2016）上的零点个数为11．

Answer 1

分析 令函数y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=$\frac{3}{2x}$，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，然后逐一分区间求得答案．

解答 解：令函数y=2xf（x）-3=0，得到方程f（x）=$\frac{3}{2x}$，
当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=$\frac{3}{2}$时取得最大值1，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=$\frac{3}{2}$时也有y=1；
当x∈[2，2²）时，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}x）$，在x=3处函数f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=3时也有y=$\frac{1}{2}$；
当x∈[2²，2³）时，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}x）$，在x=6处函数f（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=6时也有y=$\frac{1}{4}$；
…；
当x∈[2¹⁰，2¹¹）时，f（x）=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}x）$，在x=1536处函数f（x）取得最大值$\frac{1}{210}$，
而y=$\frac{3}{2x}$在x=1536时也有y=$\frac{1}{210}$．
∴函数y=2xf（x）-3在区间（1，2016）上的零点个数为11．
故答案为：11．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，体现了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是压轴题．