Question

9．已知定义在集合A上的函数f（x）=log₂（x-1）+log₂（2x+1），其值域为（-∞，1]，则A=$（1，\frac{3}{2}]$．

Answer 1

分析 由题意和真数大于零列出不等组，求出函数f（x）的定义域，利用对数的运算化简解析式，由设t=2x²-x-1，由函数的值域和对数函数的性质求出集合A．

解答 解：由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，
则函数f（x）的定义域是（1，+∞），
又f（x）=log₂（x-1）+log₂（2x+1）=log₂（x-1）（2x+1）
=log₂（2x²-x-1），
设t=2x²-x-1，∵值域为（-∞，1]，∴t≤2，则2x²-x-1≤2，
即2x²-x-3≤0，解得$-1≤x≤\frac{3}{2}$，
∴集合A=$（1，\frac{3}{2}]$，
故答案为：$（1，\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查对数函数的图象与性质，对数函数的定义域，以及对数的运算性质，考查换元法的应用．