Question

12．如图，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，点E，F分别在直线AA₁，BC上，若直线EF与棱C₁D₁相交，则|A₁E|+|CF|的最小值是1．

Answer 1

分析 将图形沿着C₁C剪开，平铺到平面A₁B上，|A₁E|+|CF|的最小时，EF经过B₁，设|A₁E|=x，|CF|=y，利用三角形的相似得出x，y的关系，再利用基本不等式，求出|A₁E|+|CF|的最小值．

解答 解：将图形沿着C₁C剪开，平铺到平面A₁B上，|A₁E|+|CF|的最小时，EF经过B₁，
设|A₁E|=x，|CF|=y，则$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2+y}$，∴y=$\frac{1}{x}$-1，
∴|A₁E|+|CF|=x+y=x+$\frac{1}{x}$-1≥2-1=1，当且仅当x=1时，取等号，
∴|A₁E|+|CF|的最小值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查|A₁E|+|CF|的最小值，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．