Question

11．如图，设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为菱形，A₁C与底面垂直．过点C作平面与四棱柱的侧棱垂直且分别交AA₁于点E，交BB₁于点F，交DD₁于点G．
（1）求证：四边形EFCG为菱形；
（2）设此四棱柱的底面为正方形，且AB=a，A₁C=h，二面角A-BB₁-C的大小等于60°，求$\frac{h}{a}$．

Answer 1

分析 （1）推导出CF∥GE，CG∥EF，连接DB，AC，GF，CE，从而平面A₁CA⊥底面，CE⊥DB，CE⊥GF，由此能证明四边形EFCG为菱形．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求求出$\frac{a}{h}$．

解答 证明：（1）∵平面A₁ADD₁∥平面B₁BCC₁，平面A₁B₁BA∥平面D₁C₁CD，
∴CF∥GE，CG∥EF，连接DB，AC，GF，CE，
∵A₁C⊥底面，∴平面A₁CA⊥底面，CE⊥DB，∵GF∥DB，∴CE⊥GF
∴四边形EFCG为菱形．
解：（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（a，a，0），B（0，a，0），B₁（-a，0，h），C（0，0，0），
$\overrightarrow{BA}$=（a，0，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-a，-a，h），$\overrightarrow{BC}$=（0，-a，0），
设平面ABB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=ax=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-ax-ay+hz=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{a}{h}$），
设平面BB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-ax-ay+hz=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-ay=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\frac{a}{h}$），
∵A-BB₁-C的大小等于60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}}{\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}}•\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}}}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}}{{h}^{2}}$=1，
∵a＞0，h＞0，∴$\frac{a}{h}$=1．

点评 本题考查四边形为菱形的证明，考查线段长比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．