已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.右焦点F.短轴两端点为B1.B2.且$\overrightarrow{F{B} {1}}$•$\overrightarrow{F{B} {2}}$=4．(1)求椭圆的方程,作直线l交椭圆于A.B两点.交x轴于N点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点F，短轴两端点为B₁，B₂，且$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M（0，-1）作直线l交椭圆于A、B两点，交x轴于N点，且满足$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，求直线l的方程．

分析（1）设出右焦点和顶点的坐标，由离心率公式和平面向量数量积坐标表示，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），运用向量共线坐标表示，设直线l的方程为y=kx-1（k≠0），联立方程x²+4y²=8，运用韦达定理和解方程，得到k的方程，即可得到所求直线方程，注意检验判别式大于0．

解答解：（1）设椭圆的右焦点F （c，0）（c＞0），B₁（0，b），B₂（0，-b），
由$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4，即（-c，b）•（-c，-b）=c²-b²=4，…（3分）
又离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，…（5分）
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），
因为$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，所以（x₁-x₀，y₁）=-$\frac{7}{5}$（x₂-x₀，y₂），y₁=-$\frac{7}{5}$y₂．①
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，…（8分）
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0），联立方程x²+4y²=8，
消去x得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，②…（10分）
因为△＞0，所以直线与椭圆相交，于是y₁+y₂=-$\frac{2}{1+4{k}^{2}}$，③
y₁y₂=$\frac{1-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，④
由①③得，y₂=$\frac{5}{1+4{k}^{2}}$，y₁=-$\frac{7}{1+4{k}^{2}}$，
代入④整理得8k⁴+k²-9=0，k²=1，k=±1，
所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1．…（12分）

点评本题考查椭圆方程和直线方程的求法，注意运用离心率公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理运算能力，属于中档题．

练习册系列答案

相关题目

2．

如图，平面ABCD⊥平面ABE，其中ABCD为矩形，△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，AB=2AD=2AE=2．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值．

3．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=1，直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD
（Ⅰ）求证：FA⊥BC
（Ⅱ）求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．

20．已知定义在R上的可导函数f（x）图象既关于直线x=1对称，又关于直线x=5对称，且当x∈[1，5]时，有f′（x）＞3f（x），则下列各式成立的是（　　）

	A．	e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＜f（-19）		B．	e³f（-14）＞f（-5），e³f（-10）＞f（-19）
	C．	e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＞f（-19）		D．	e³f（-14）＞f（-4），e³f（-10）＜f（-19）