题目内容
12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点F，短轴两端点为B1，B2，且$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4．（1）求椭圆的方程；
（2）过点M（0，-1）作直线l交椭圆于A、B两点，交x轴于N点，且满足$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，求直线l的方程．
分析 （1）设出右焦点和顶点的坐标，由离心率公式和平面向量数量积坐标表示，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），运用向量共线坐标表示，设直线l的方程为y=kx-1（k≠0），联立方程x2+4y2=8，运用韦达定理和解方程，得到k的方程，即可得到所求直线方程，注意检验判别式大于0．
解答 解：（1）设椭圆的右焦点F （c，0）（c＞0），B1（0，b），B2（0，-b），
由$\overrightarrow{F{B}_{1}}$•$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=4，即（-c，b）•（-c，-b）=c2-b2=4，…（3分）
又离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2-b2=c2，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，…（5分）
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），
因为$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，所以（x1-x0，y1）=-$\frac{7}{5}$（x2-x0，y2），y1=-$\frac{7}{5}$y2．①
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，…（8分）
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0），联立方程x2+4y2=8，
消去x得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0，②…（10分）
因为△＞0，所以直线与椭圆相交，于是y1+y2=-$\frac{2}{1+4{k}^{2}}$，③
y1y2=$\frac{1-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，④
由①③得，y2=$\frac{5}{1+4{k}^{2}}$，y1=-$\frac{7}{1+4{k}^{2}}$，
代入④整理得8k4+k2-9=0，k2=1，k=±1，
所以直线l的方程是y=x-1或y=-x-1．…（12分）
点评 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，注意运用离心率公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理运算能力，属于中档题．
如图，平面ABCD⊥平面ABE，其中ABCD为矩形，△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，AB=2AD=2AE=2．
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=1，直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD| A． | e3f（-14）＜f（-5），e3f（-10）＜f（-19） | B． | e3f（-14）＞f（-5），e3f（-10）＞f（-19） | ||
| C． | e3f（-14）＜f（-5），e3f（-10）＞f（-19） | D． | e3f（-14）＞f（-4），e3f（-10）＜f（-19） |
| A． | -1 | B． | 0 | C． | -$\frac{4}{3}$ | D． | -$\frac{13}{3}$ |
| A． | [1，+∞） | B． | （-∞，1] | C． | [-1，+∞） | D． | （-∞，-1] |