Question

17．已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围；
（2）若m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直线被椭圆截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）把直线y=x+m代入椭圆方程4x²+y²=1，化为：5x²+2mx+m²-1=0，直线和椭圆有公共点，可得△≥0，解得实数m的取值范围．
（2）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得10x²+2$\sqrt{2}$x-1=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程4x²+y²=1，化为：5x²+2mx+m²-1=0，
∵直线和椭圆有公共点，∴△=4m²-20（m²-1）≥0，解得$-\frac{\sqrt{5}}{2}$≤m$≤\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴实数m的取值范围是$[-\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}}{2}]$．
（2）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得5x²+$\sqrt{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，即10x²+2$\sqrt{2}$x-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{10}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（\frac{2}{25}+\frac{4}{10}）}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的相交的条件、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．