Question

13．函数f（x）=x-（$\frac{1}{3}$）^x+a的零点在区间（1，+∞）上，则实数a的取值范围是a＜-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 确定函数f（x）=x-（$\frac{1}{3}$）^x+a单调递增，利用函数f（x）=x-（$\frac{1}{3}$）^x+a的零点在区间（1，+∞）上，可得f（1）=$\frac{2}{3}$+a＜0，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：f′（x）=1-（$\frac{1}{3}$）^xln$\frac{1}{3}$＞0，
∴函数f（x）=x-（$\frac{1}{3}$）^x+a单调递增，
∵函数f（x）=x-（$\frac{1}{3}$）^x+a的零点在区间（1，+∞）上，
∴f（1）=$\frac{2}{3}$+a＜0，
∴a＜-$\frac{2}{3}$．
故答案为：a＜-$\frac{2}{3}$．

点评 正确把问题等价转化、熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．