Question

1．已知数列{b_n}的前n项和是S_n，且b_n=1-2S_n，又数列{a_n}、{b_n}满足点{a_n，3${b}_{n}^{2}$}在函数y=（$\frac{1}{3}$）^x的图象上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，利用b_n=1-2S_n与b_n-1=1-2S_n-1作差，整理得b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1，进而可知数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列；通过将点{a_n，3${b}_{n}^{2}$}代入函数解析式y=（$\frac{1}{3}$）^x中，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知c_n=（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+3ⁿ，通过记数列{a_n•b_n}的前n项和为P_n，数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为Q_n，利用错位相减法计算可知P_n=1-（n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，利用等比数列的求和公式计算可知Q_n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$，相加即得结论．

解答 解：（1）当n≥2时，b_n=1-2S_n，b_n-1=1-2S_n-1，
两式相减得：b_n-b_n-1=-2b_n，即b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1，
又∵b₁=1-2S₁，即b₁=$\frac{1}{3}$，
∴数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴b_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
∵点{a_n，3${b}_{n}^{2}$}在函数y=（$\frac{1}{3}$）^x的图象上，
∴3${{b}_{n}}^{2}$=$\frac{1}{{3}^{{a}_{n}}}$，即$\frac{1}{{3}^{2n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{{a}_{n}}}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$=（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+3ⁿ，
记数列{a_n•b_n}的前n项和为P_n，数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为Q_n，
∵P_n=1•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$P_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$P_n=$\frac{1}{3}$+2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2（n+1）}{{3}^{n+1}}$，
∴P_n=1-（n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
又∵Q_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$，
∴T_n=P_n+Q_n
=1-（n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$
=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{2（n+1）}{{3}^{n}}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．