Question

（文）已知数列{a_n}中，a₂=4，其前n项和S_n满足S_n=n²+λn（λ∈R）．
（1）求实数λ的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列

1

Sn

+b_n是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{a_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由S_n=n²+λn，求出a₁，S₂，结合a₂=4列式求解λ，代入前n项和公式后由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得答案；
（2）由{

1

Sn

+b_n}是首项为λ、公比为2λ的等比数列求出其通项公式，进一步得到{b_n}的通项公式，然后分组后利用等比数列的求和公式及裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（1）由S_n=n²+λn，得a₁=S₁=1+λ，S₂=a₁+a₂=4+2λ，
∵a₂=4，
∴1+λ+4=4+2λ，解得λ=1．
∴Sn=n2+n．
则n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n．
验证a₁=2适合上式，
∴a_n=2n；
（2）∵{

1

Sn

+b_n}是首项为λ、公比为2λ的等比数列，
∴

1

Sn

+bn=2n-1，bn=2n-1-

1

Sn

=2n-1-(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=(1+2+22+…+2n-1)-[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1-2n

1-2

-(1-

1

n+1

)=2n+

1

n+1

-2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式，训练了利用分组求和和裂项相消法求数列的和，是中档题．