题目内容
（2012•株洲模拟）已知向量
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)，
=(-1，0)
（1）求|
+
|的最大值
（2）若α=
，且
⊥(
+
)，求cosβ的值．
| a |
| b |
| c |
（1）求|
| b |
| c |
（2）若α=
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| c |
分析：（1）利用向量的运算法则求出
+
，利用向量模的平方等于向量的平方求出|
+
|的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
| b |
| c |
| b |
| c |
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
解答：解：（1）
+
=（cosβ-1，sinβ），则
|
+
|2=（cosβ-1）2+sin2β=2（1-cosβ）．
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤|
+
|2≤4，即0≤|
+
|≤2．
当cosβ=-1时，有|
+
|=2，
所以向量
+
的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得
+
=（cosβ-1，sinβ），
•（
+
）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．
∵
⊥（
+
），
∴
•（
+
）=0，即cos（α-β）=cosα．
由α=
，
得cos(
-β)=cos
，
即β-
=2kπ±
(k∈z)．
∴β=2kπ+
或β=2kπ，(k∈z)，
于是cosβ=-
或cosβ=1．…（14分）．
| b |
| c |
|
| b |
| c |
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤|
| b |
| c |
| b |
| c |
当cosβ=-1时，有|
| b |
| c |
所以向量
| b |
| c |
（2）由（1）可得
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
∵
| a |
| b |
| c |
∴
| a |
| b |
| c |
由α=
| π |
| 3 |
得cos(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
即β-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴β=2kπ+
| 2π |
| 3 |
于是cosβ=-
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．考查计算能力．
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