Question

（2012•株洲模拟）函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

2

n

的最小值为

3+2

2

．

Answer 1

分析：由于函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-1，-1），再由点A在直线mx+ny+1=0上，可得m+n=1，根据

1

m

+

2

n

=1+

n

m

+

2m

n

+2 利用基本不等式求出
它的最小值．

解答：解：由于函数y=log_ax经过定点（1，0），故函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-1，-1），
再由点A在直线mx+ny+1=0上，可得-m-n+1=0，m+n=1．
∴

1

m

+

2

n

=

m+n

m

+

2m+2n

n

=1+

n

m

+

2m

n

+2≥3+2

2

，当且仅当

n

m

= 

2m

n

，即 n=

2

m 时，等号成立．
故

1

m

+

2

n

的最小值为 3+2

2

．
故答案为 3+2

2

．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，属于基础题．