Question

已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．

Answer 1

（1），（2）．

解析试题分析：（1）利用导数研究函数单调性，在上是增函数就是≥0在上恒成立，恒成立问题一般利用变量分离转化为最值问题，即≤在上恒成立．令，则≤．∵在上是增函数，∴．∴≤1．所以实数的取值范围为．（2）利用导数研究函数最值，实际还是研究函数单调性. ①若，,，解得（舍去）．②若，当时，，当时，，，解得（舍去）．③若，则,，所以．
解：（1）∵，∴．      2分
∵在上是增函数，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．        4分
令，则≤．
∵在上是增函数，∴．
∴≤1．所以实数的取值范围为．           7分
（2）由（1）得，．
①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．
所以，解得（舍去）．       10分
②若，令，得