Question

已知，其中e为自然对数的底数.
（1）若是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数上的最小值；
（3）求证：.

Answer 1

（1）实数的取值范围是.
（2）当时，；
当时，；
当时，.
（3）见解析.

试题分析：（1）由题意知在上恒成立.
根据，知在上恒成立，即在上恒成立. 只需求时，的最大值.
（2）当时，则.
根据，分别得到的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. 因为，所以，
因此，要讨论①当，即时，②当，即时，③当时等三种情况下函数的最小值.
（3）由（2）可知，当时，，从而
可得 ，
故利用



（1）由题意知在上恒成立.
又，则在上恒成立，
即在上恒成立. 而当时，，所以，
于是实数的取值范围是.                     4分
（2）当时，则.
当，即时，；
当，即时，.
则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.   6分
因为，所以，
①当，即时，在[]上单调递减，
所以
②当，即时，在上单调递减，
在上单调递增，所以
③当时，在[]上单调递增，所以.
综上，当时，；
当时，；
当时，.              9分
（3）由（2）可知，当时，，所以
可得                 11分
于是



                               14分