Question

13、如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a．
（1）求证：平面AD₁B₁∥平面C₁DB；
（2）求证：A₁C⊥平面AD₁B₁．

Answer 1

分析：（1）欲证平面AD₁B₁∥平面C₁DB，根据面面平行的判定定理可知证一平面内两相交直线与另一平面平行即可，而D₁B₁∥平面C₁DB，AB₁∥平面C₁DB，满足定理条件；
（2）欲证A₁C⊥平面AD₁B₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁C与平面AD₁B₁内两相交直线垂直，而A₁C₁⊥D₁B₁，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁，满足定理条件．

解答：（1）证明：∵D₁B₁∥DB，∴D₁B₁∥平面C₁DB．
同理，AB₁∥平面C₁DB．
又D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴平面AD₁B₁∥平面C₁DB．
（2）证明：∵A₁C₁⊥D₁B₁，而A₁C₁为A₁C在平面A₁B₁C₁D₁上的射影，∴A₁C₁⊥D₁B₁．
同理，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁．
∴A₁C⊥平面AD₁B₁．

点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．