Question

设函数f（x）=x^m+ax的导数f′（x）=2x+3，则数列{

1

f(n)+2

}（n∈N^*）的前n项和是（　　）

• A．

  2n

  n+1

• B．

  n

  2(n+2)

• C．

  n-1

  n+1

• D．

  2(n+1)

  n+2

Answer 1

分析：由f（x）=x^m+ax的导数f'（x）=mx^m-1+a=2x+3，先求出f（x）=x²+3x，设a_n=

1

f(n)+2

=

1

n2+3n+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此能求出数列{

1

f(n)+2

}（n∈N^*）的前n项和．

解答：解：∵f（x）=x^m+ax的导数f'（x）=mx^m-1+a=2x+3，
∴m=2，a=3，
∴f（x）=x²+3x，
设a_n=

1

f(n)+2

，
∴则a_n=

1

f(n)+2

=

1

n2+3n+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴数列{

1

f(n)+2

}（n∈N^*）的前n项和
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
故选B．

点评：本题考查数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的性质和应用．