Question

17．（1）已知x+x^-1=3，求${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}$的值．
（2）解关于x的不等式a${\;}^{2{x}^{2}-3x+2}$＞a${\;}^{2{x}^{2}+2x-3}$．

Answer 1

分析 （1）由（${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}$）²=x+x^-1+2=5，能求出${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}$的值．
（2）当0＜a＜1时，2x²-3x+2＜2x²+2x-3，当a＞1时，2x²-3x+2＞2x²+2x-3，由此能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵x+x^-1=3，
∴（${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}$）²=x+x^-1+2=5，
∴${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{5}$．
（2）∵a${\;}^{2{x}^{2}-3x+2}$＞a${\;}^{2{x}^{2}+2x-3}$，
∴当0＜a＜1时，2x²-3x+2＜2x²+2x-3，
解得x＞1．
当a＞1时，2x²-3x+2＞2x²+2x-3，
解得x＜1．
∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＞1}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜1}．

点评 本题考查代数式的和的求法，考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．