Question

已知函数的导函数为，的图象在点，处的切线方程为，且，直线是函数的图象的一条切线.
（1）求函数的解析式及的值；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(1) ,(2).

试题分析：(1) 先求,根据导数的几何意义，得：,,列方程，解得,解得,易知与相交于，又相切，所以函数在原点处的切线斜率为1,即,求出;(2)代入函数后，整理成的形式，所以即求在，的最小值，设,利用分析,结合定义域，求出最小值.较难题型.
试题解析：（1）解：，            1分
由题意，，①
，②
，③
由①②③解得，，，
所以.              4分
由题意，与相切可知，函数在原点处的切线斜率为1，
因为，所以.          6分
（2）解：问题等价于，
整理得=对于任意，恒成立，
只需求在，的最小值.         8分
设，则，        10分
又，，
所以必有一实根，且，，，
当，时，；当，时，，
，
所以在，的最小值为1，       13分
所以，
即实数的取值范围是，.            14分