Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点，则下列结论正确的是

①②③

（填序号）
①线段A₁M与B₁C所在直线为异面直线；
②对角线BD₁⊥平面AB₁C；
③平面AMC⊥平面AB₁C；
④直线A₁M∥平面AB₁C．

Answer 1

分析：由线段A₁M所在平面AD₁A₁与B₁C所在平面BCC₁B₁互相平行，且直线A₁M与B₁C不平行，知线段A₁M与B₁C所在直线为异面直线；设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够得到对角线BD₁⊥平面AB₁C，平面AMC⊥平面AB₁C，直线A₁M与平面AB₁C不平行．

解答：解：∵线段A₁M所在平面AD₁A₁与B₁C所在平面BCC₁B₁互相平行，
且直线A₁M与B₁C不平行，
∴线段A₁M与B₁C所在直线为异面直线，
故①正确；
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），M（0，0，1），D₁（0，0，2），
∴

AB1

=(0，2，2)，

AC

=(-2，2，0)，

BD1

=(-2，-2，2)，

AM

=(-2，0，1)，
∴

BD1

•

AB1

=0-4+4=0，

BD1

•

AC

=4-4+0=0，
∴

BD1

⊥

AB1

，

BD1

⊥

AC

，
∴BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
∴对角线BD₁⊥平面AB₁C，
故②正确；
设平面AMC的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），则

m

•

AM

=0，

m

•

AC

=0，
∴

-2x1+z1=0 -2x1+2y1=0

，∴

m

=（1，1，2），
设平面AB₁C的法向量为

n

=（x₂，y₂，z₂），则

n

•

AB1

=0，

n

•

AC

=0，
∴

2y2+2z2=0 -2x2+2y2=0

，∴

n

=（1，1，-1），
∵

m

•

n

=1+1-2=0，
∴平面AMC⊥平面AB₁C，
故③正确；
∵A₁（2，0，2），M（0，0，1），
∴

A1M

=(-2，0，-1)，
∵

A1M

•

n

=-2+0+1=-1≠0，
∴直线A₁M与平面AB₁C不平行，
故④不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查异面直线的判断，直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面平行的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．