Question

已知sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0两根（θ∈（0，π）），求下列值．
（1）sinθ，cosθ；
（2）sinθ-cosθ．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由已知方程有根得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，再利用韦达定理得到sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，利用同角三角函数间基本关系求出a的值，即可确定出sinθ与cosθ的值；
（2）由题意得到sinθ-cosθ大于0，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ-cosθ的值即可．

解答： 解：（1）依题意，△=（-a）²-4a≥0，解得：a≥4或a≤0，
∵sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0两根（θ∈（0，π）），
∴sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
∴a²-2a-1=0，
解得：a=

2±2 2

2

，即a=1+

2

（舍去）或a=1-

2

，
∴

sinθ+cosθ=1- 2 sinθcosθ=1- 2

，
解得：sinθ=

1- 2 + 2 2 -1

2

，cosθ=

1- 2 - 2 2 -1

2

；
（2）∵sinθcosθ=1-

2

，且sinθ-cosθ＞0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=1-2（1-

2

）=1-2+2

2

=2

2

-1，
则sinθ-cosθ=

2 2 -1

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．