Question

16．已知在锐角三角形ABC中，α+$\frac{π}{3}$的终边经过点P（sinB-cosA，cosB-sinA），且sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则sin（$\frac{2015π}{2}$+α）的值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$
• B． $\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 由条件利用锐角三角形的性质求得cosB-sinA＜0、sinB-cosA＞0，可得α+$\frac{π}{3}$的终边在第四象限．再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用诱导公式、两角和差的正弦公式求得sin（$\frac{2015π}{2}$+α）的值．

解答 解：在锐角三角形ABC中，∵A+B＞$\frac{π}{2}$，即 A＞$\frac{π}{2}$-B，∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，∴cosB-sinA＜0．
∵A+B＞$\frac{π}{2}$，即 B＞$\frac{π}{2}$-A，∴sinB＞sin（$\frac{π}{2}$-A）=cosA，∴sinB-cosA＞0，
故点P（sinB-cosA，cosB-sinA）在第四象限，即α+$\frac{π}{3}$的终边在第四象限．
故由sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得cos（α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=$\frac{1}{3}$，
sin（$\frac{2015π}{2}$+α）=sin（$\frac{3π}{2}$+α）=-cosα=-cos[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=-cos（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-sin（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$ 
=-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$-（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$，
故选：A．

点评 本题主要考查锐角三角形的性质，查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．