Question

2．若函数f（x）=e|lnx|-|x-1|-（$\frac{1}{2}$）^m有且仅有一个零点，则实数m的取值范围（-∞，0）．

Answer 1

分析 把函数f（x）=e|lnx|-|x-1|-（$\frac{1}{2}$）^m有且仅有一个零点转化为方程e|lnx|-|x-1|=（$\frac{1}{2}$）^m有且仅有一个根，利用导数研究函数f（x）的单调性，作出其图象的大致形状，数形结合可得（$\frac{1}{2}$）^m＞1，得m＜0．

解答 解：函数f（x）=e|lnx|-|x-1|-（$\frac{1}{2}$）^m有且仅有一个零点，即方程e|lnx|-|x-1|=（$\frac{1}{2}$）^m有且仅有一个根，
令g（x）=e|lnx|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-elnx+x-1，0＜x＜1}\\{elnx-x+1，x≥1}\end{array}\right.$，
当0＜x＜1时，g（x）=-elnx+x-1，得g′（x）=$-\frac{e}{x}+1=\frac{x-e}{x}$＜0，g（x）在（0，1）上为减函数；
当x＞1时，由g（x）=elnx-x+1，得g′（x）=$\frac{e}{x}-1=\frac{e-x}{x}$，当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，且g（1）=0，g（e）=1，当x→+∞时，g（x）→-∞．
作出函数g（x）的图象的大致形状如图：

要使方程e|lnx|-|x-1|=（$\frac{1}{2}$）^m有且仅有一个根，
则（$\frac{1}{2}$）^m＞1，得m＜0．
∴m的取值范围为（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．