Question

11．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的坐标方程为ρ=6cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）若点M（5，$\sqrt{3}$），直线l与曲线C的交点为A，B，求①|MA|•|MB|；②|MA|+|MB|的值；③|AB|的值；④||MA|-|MB||的值；
（3）若点M（8，2$\sqrt{3}$），直线l与曲线C的交点为A，B，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲线的极坐标方程即ρ²=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x²+y²=2x，即得它的直角坐标方程；
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），代入x²+y²=6x，整理可得2t²+3$\sqrt{3}$t-1=0，利用参数的几何意义可得结论；
（3）点M（8，2$\sqrt{3}$）在直线l上，由参数的几何意义，同样有t₁+t₂=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-$\frac{1}{2}$，利用参数的几何意义可得结论．

解答 解：（1）∵ρ=6cosθ，∴ρ²=6ρcosθ，∴x²+y²=6x，故它的直角坐标方程为（x-3）²+y²=9；
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），代入x²+y²=6x，整理可得2t²+3$\sqrt{3}$t-1=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，∴t₁+t₂=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-$\frac{1}{2}$，
∴①|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}$；②|MA|+|MB|=$\sqrt{\frac{27}{4}+2}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$；
③|AB|=$\sqrt{\frac{27}{4}+2}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$；④||MA|-|MB||=|t₁+t₂|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）点M（8，2$\sqrt{3}$）在直线l上，由参数的几何意义，同样有t₁+t₂=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{37}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{37}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查参数的几何意义，属于中档题．