Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C₁，且A、C₁间的距离为2．

（1）求证：平面A C₁D⊥平面ABD；

（2）求二面角B－AC₁－D所成角余弦值

（3）E为线段A C₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时？DE与平面BC₁D所成的角为30°．

　　

Answer 1

 

解答：法一：（1）∵ABCD是平行四边形，故知∠BDC₁＝∠ABD＝90°，

即AB⊥BD，C₁D⊥BD，

∴　AD＝BC₁＝， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由C₁D＝1，AC₁＝2可得，AC₁²＝C₁D²＋AD²，∴C₁D⊥AD．　　　　　　

∴C₁D⊥平面ABD，        

又C₁D Ì平面AC₁D，故平面AC₁D⊥平面ABD．                       

（2）由AB⊥BD，AB⊥C₁D可知，AB⊥平面BC₁D，故可以B为原点，平行于C₁D的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,1)，D(0, ,0)，C₁(1, ,0)　　

＝(0,0,1)，＝(1, ,0)，＝(0, ,－1) ，＝(1,0,0)．

设平面ABC₁的法向量为＝(x₁,y₁,z₁)，则

·＝0，·＝0，即

，解得，故得平面ABC₁的一个法向量

＝(－,1,0)……………………

设平面ADC₁的法向量为＝(x₂,y₂,z₂)，则

·＝0，·＝0，即

，解得，故得平面ABC₁的一个法向量

＝(0, 1, )．

∵　＝＝＝．

显然，二面角B－AC₁－D所成的平面角为锐角，故大小为．　

（3）设＝λ，则

＝＋＝＋λ＝(1,0,0)＋λ(－1,－,1)＝(1－λ,－λ, λ)，

由ABC⊥平面BCD可知，＝(0,0,1)是平面BCD的一个法向量，

若DE与平面BC₁D所成的角为30°，则不难看出　

<,>＝60°，∴．

又　＝．

故　＝，整理，得4λ²＝1－2λ＋4λ²，解得λ＝．

故知E为AB的中点，即|C₁E|＝1时．DE与平面BC₁D所成的角为30°．

法二：（1）同上．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）作DF⊥BC₁于F，则DF⊥平面ABC1，又作DG⊥AC₁，连FG，由三垂线定理可知，则FG⊥AC₁，故∠FGD就是二面角B－AC₁－D的平面角．　　　

∵　·B C₁·DF＝·BD·D C₁，

故　DF＝＝，　

同理，DG＝＝＝．

∴ sin∠FGD＝＝，　　

故二面角B－AC₁－D的大小为．

（3）过E作EH⊥BC₁于H，则EH∥AB，故EH⊥平面BC₁D，连DH，则∠EDH就是DE与平面BC₁D所成的角．　　　　　　　　　　　　　　　　　

设|C₁E|＝x，∵AB＝1，AC₁＝2，故知∠AC₁B＝30°，则EH＝x，　

同理可知，∠DC₁E＝60°，在△DC₁E中，由余弦定理得

DE²＝1²＋x²－2·1·x·cos60°＝x²－x＋1．　　　　　　　　　

若∠EDH＝30°，则DE＝2EH＝x，故有x²＝x²－x＋1，解得x＝1，即|C₁E|＝1时，DE与平面BC₁D所成的角为30°．