Question

18．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足∠AFB=$\frac{2π}{3}$，过弦AB的中点P作抛物线准线的垂线PM，垂足为M，则$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MP|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，
连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，
|BF|=|BP'|
在梯形ABP'Q中，
2|MP|=|AQ|+|BP'|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°
=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a+b）²=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|PM|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．