Question

14．某中学随机抽取50名高二学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；
（Ⅲ）设m，n表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知m，n∈[40，60）∪[80，100），求事件“|m-n|＞20”的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1．能求出x．
（Ⅱ）先求出运动时间不少于1小时的频率，由此能求出不少于1小时的频数，由此该校能估计“热爱运动”的学生人数．
（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40，60）的人数为3人，设为A，B，C，成绩在[80，100]的人数为2人，设为x，y，由此利用列举法能求出事件“|m-n|＞20”所包含的基本事件个数．

解答 解：（1）由20×（0.002+0.003+x+0.025）=1．
解得x=0.017．-------（2分）
（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20×（0.002+0.003）=0.1，-----（3分）
不少于1小时的频数为1200×0.1=120，
所以该校估计“热爱运动”的学生有120人．------（5分）
（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40，60）的人数为50×20×0.003=3人，设为A，B，C，-----（6分）
成绩在[80，100]的人数为50×20×0.002=2人，设为x，y．------（7分）
若m，n∈[40，60）时，有AB，AC，BC三种情况，
若m，n∈[80，100]时，只有xy一种情况，------------------（8分）
若m，n分别在[40，60），[80，100]内时，则有Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，共有6种情况．所以基本事件总数为10种，---------------（10分）
事件“|m-n|＞20”所包含的基本事件个数有6种．
∴P（|m-n|＞20）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．-----------------------（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．