Question

如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．求证：
（1）BD₁∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB₁C．

Answer 1

证明：（1）连接BD，交AC于O．连接EO，BD₁．
因为E为DD₁的中点，所以BD₁∥OE．
又OE平面EAC，BD₁平面EAC，所以BD₁∥平面EAC；
（2）∵BB₁⊥AC，BD⊥AC．
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
又BD₁平面BB₁D₁D∴BD₁⊥AC．
同理BD₁⊥AB₁，∴BD₁⊥平面AB₁C．
由（1）得BD₁∥OE，∴EO⊥平面AB₁C．
又EO平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB₁C．