Question

如图, 三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, 侧棱A₁A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A₁C₁的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A₁CD;
(Ⅱ) 证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;
(Ⅲ) 求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

解析试题分析：（Ⅰ）连接，要证明平面，只需证明即可；（Ⅱ）欲证平面平面，即证平面内一直线与平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得平面，再根据平面与平面垂直的判定定理证明即得；（Ⅲ）先过作交于，利用（Ⅱ）中的结论得出平面，从而为所求的角，最后在直角中，求出即为直线与平面所成的角的正弦值.
试题解析：（Ⅰ）如图，在三棱柱中，且，
连接，在中，因为、分别为、的中点，所以且，
又因为为的中点，可得，且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，平面；

（Ⅱ）由于底面是正三角形，为的中点，故，
又由于侧棱底面，平面，所以，
又，因此平面，而平面，所以平面平面；
（Ⅲ）在平面内，过点作交直线于点，连接，
由于平面平面，而直线是平面与平面的交线，
故平面，由此得为直线与平面所成的角，
设棱长为，可得，由