Question

已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|²＋|PB|²＋|PC|²最小，并求此最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系．则A(0，a)、B(，0)、C(，0)，设P(x，y)， 　　则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－a)2＋(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3(y－a)2＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立，所以最小值为a2，此时P点坐标为P(0，a)，是正三角形ABC的中心．

提示：

此为平面几何最值问题，利用平面几何法不易解决，应考虑使用解析法．