Question

一个袋中有20个大小相同的小球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球，用ξ表示所取球的标号．
（1）求ξ的分布列的数学期望和方差；
（2）若η=aξ+b，E（η）=2，D（η）=44，试求a、b的值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由题设知ξ=0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列、数学期望和方差．
（2）由η=a²Dξ，Eη=aEξ+b，结合题设条件，能求出a、b的值．

解答： 解：（1）由题设知ξ=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

10

20

=

1

2

，
P（ξ=1）=

1

20

，
P（ξ=2）=

2

20

=

1

10

，
P（ξ=3）=

3

20

，
P（ξ=4）=

4

20

=

1

5

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 2	1 20	1 10	3 20	1 5

…（3分）
∴Eξ=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

1

10

+3×

3

20

+4×

1

5

=1.5．…（4分）
Dξ=(0-1.5)2×

1

2

+(1-1.5)2×

1

20

+(2-1.5)2×

1

10

+(3-1.5)2×

3

20

+(4-1.5)2×

1

5

=2.75．…（6分）
（2）由η=a²Dξ，得a²×2.75=44，即a=±4，…（8分）
又Eη=aEξ+b，
∴当a=4时，由2=4×1.5+b，得b=-4；
当a=-4时，由2=-4×1.5+b，得b=8．
∴

a=4 b=-4

或

a=-4 b=8

即为所求．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题，是历年高考的必考题型之一．