Question

在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

 

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根据题意，点落在上，

∴，易求得，…………4分

∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 …………6分

（2）解法一：作，垂足为，连接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．…………9分

中，，，．

∴．即二面角的余弦值为.………12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

则，可求得．………………9分

所以，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．……12分