Question

10．已知函数f（x）=sin（πx+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$）．
（1）将函数f（x）的图象与y=±2的图象的交点的横坐标构成的集合记为M，求集合M；
（2）若f（$\frac{a}{6}$）=$\frac{2}{3}$．求cos（$\frac{απ}{3}$+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sinπx，解πx=kπ+$\frac{π}{2}$可解集合M；
（2）由题意可得sin$\frac{πα}{6}$=$\frac{1}{3}$，由三角函数公式可得cos$\frac{απ}{3}$和sin$\frac{απ}{3}$，代入两角和的余弦公式cos（$\frac{απ}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{απ}{3}$-$\frac{1}{2}$sin$\frac{απ}{3}$计算可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sin（πx+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（πx+$\frac{π}{3}$）
=2[$\frac{1}{2}$sin（πx+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（πx+$\frac{π}{3}$）]
=2sin（πx+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=2sinπx
令πx=kπ+$\frac{π}{2}$可解得x=k+$\frac{1}{2}$，k∈Z，
∴集合M={x|x=k+$\frac{1}{2}$，k∈Z}；
（2）∵f（$\frac{α}{6}$）=2sin$\frac{πα}{6}$=$\frac{2}{3}$，∴sin$\frac{πα}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴cos$\frac{πα}{6}$=$±\sqrt{1-si{n}^{2}\frac{απ}{6}}$=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos$\frac{απ}{3}$=1-2sin²$\frac{πα}{6}$=$\frac{7}{9}$，
sin$\frac{απ}{3}$=2sin$\frac{πα}{6}$cos$\frac{πα}{6}$=±$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
∴cos（$\frac{απ}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{απ}{3}$-$\frac{1}{2}$sin$\frac{απ}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}±4\sqrt{2}}{18}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及函数的图象和最值，属中档题．