Question

9．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，它们满足S₄=2S₂+8，b₂=$\frac{1}{9}$，T₂=$\frac{4}{9}$，且当n=4或5时，Sn取得最小值．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=（S_n-λ）（$\frac{1}{2}$-T_n），n∈N^*，如果{c_n}是单调数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过当n=4或5时可知a₅=0，进而可用公差d表示出前4项，代入S₄=2S₂+8计算可知d=2、从而a₁=-8，进而可知数列{a_n}是以-8为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；利用T₂-b₂可知b₁=$\frac{1}{3}$，代入可知公比q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，进而可知数列{b_n}是以首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知c_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$（n²-9n-λ），通过作差可知c_n+1-c_n=-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$（n²+10n-4-λ），进而判断出数列{c_n}只能是单调递减数列，计算即得结论．

解答 解：（1）∵当n=4或5时，Sn取得最小值，
∴S₄=S₅，即a₅=0，
∴a₁=a₅-4d=-4d，a₂=a₅-3d=-3d，a₃=a₅-2d=-2d，a₄=a₅-d=-d，
又∵S₄=2S₂+8，
∴-4d-3d-2d-d=2（-4d-3d）+8，
解得：d=2，
∴a₁=-4d=-8，
∴数列{a_n}是以-8为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=-8+2（n-1）=2n-10；
∵b₂=$\frac{1}{9}$，T₂=$\frac{4}{9}$，
∴b₁=T₂-b₂=$\frac{4}{9}$-$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{3}$，
∴公比q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{b_n}是以首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知c_n=（S_n-λ）（$\frac{1}{2}$-T_n）
=[-8n+$\frac{n（n-1）}{2}$•2-λ][$\frac{1}{2}$-$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$]
=（n²-9n-λ）（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$（n²-9n-λ），
∴c_n+1-c_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$[（n+1）²-9（n+1）-λ]-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$（n²-9n-λ）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$•（-$\frac{2}{3}$）（n²+10n-4-λ）
=-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$（n²+10n-4-λ），
∵数列{c_n}是单调数列，且f（n）=n²-10n+4-λ随着n的增大而增大，
∴数列{c_n}只能是单调递减数列，
∴n²-10n+4-λ＞0，
∴λ＜n²-10n+4，
∴λ＜25-50+4=-21，
∴实数λ的取值范围是：（-∞，-21）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．